剑指offer题解—递归和循环

【牛客】斐波那契数列

题目描述

大家都知道斐波那契数列,现在要求输入一个整数n,请你输出斐波那契数列的第n项(从0开始,第0项为0,第1项是1)。

n<=39

题解

  1. 最菜解法——递归
public int Fibonacci(int n) {
        if (n < 2) return n;
        return  Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}
  1. 动态规划,用dp数组记录一下每个的值
public int Fibonacci(int n) {
        if (n < 2) return n;
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2 ; i <= n ; i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
  1. 由于只跟最后两个数字有关,所以只记录一下最新的两个数字就可以了
public int Fibonacci(int n) {
        if (n < 2) return n;
        int f1 = 0;
        int f2 = 1;
        int f3 = 1;
        for (int i = 2 ; i <= n ; i++){
            f3 = f1 + f2;
            f1 = f2;
            f2 = f3;
        }
        return f3;
    }
  1. 直接在构造函数里求出40个斐波那契数,每次调用都直接从数组里取就行。
public class Solution {
    private int[] fib = new int[40];
    public Solution(){
        fib[0] = 0;
        fib[1] = 1;
        for (int i = 2; i < fib.length; i++)
            fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
    }
    public int Fibonacci(int n) {
        return fib[n];
    }

}

【牛客】矩形覆盖

题目描述

我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形,总共有多少种方法?

比如n=3时,2*3的矩形块有3种覆盖方法:

解题思路

实际上还是斐波那契

n = 1 时,只能覆盖一个,所以为1;

n = 2时,可以横竖各两种方式覆盖,所以为2

要覆盖 2n 的大矩形,可以先覆盖 21 的矩形,再覆盖 2(n-1) 的矩形;或者先覆盖 22 的矩形,再覆盖 2(n-2) 的矩形。而覆盖 2(n-1) 和 2*(n-2) 的矩形可以看成子问题。该问题的递推公式如下:

实现:



【牛客】跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法(先后次序不同算不同的结果)。

解题思路

还是斐波那契

 public int JumpFloor(int target) {
        if(target < 3) return target;
        int f1 = 1;
        int f2 = 2;
        int f3 = f1 + f2;
        for (int i = 3 ; i <= target ; i++){
            f3 = f1 + f2;
            f1 = f2;
            f2 = f3;
        }
        return f3;
    }

【牛客】变态跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解题思路

对于上一题,因为只能跳1或2 阶,所以对第n阶,可以考虑由n-1阶跳一阶到达,也可以由n-2阶跳2阶到达。则:

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

对于本题,由于可以跳1~n阶,所以第n阶的情况就为:

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + … + f(0)

那么就需要记录前面的和sum

  1. 动态规划实现
public int JumpFloorII(int target) {
        if (target == 1) return 1;
        int[] dp = new int[target+1];
        int sum = 1;//记录1~n-1的和

        for (int i = 2 ; i <= target ; i++ ){
            dp[i] = sum + 1;//加上直接从起点到n阶的情况
            sum += dp[i];//更新一下sum
        }

        return dp[target];
    }
  1. 数学推导

    f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + … + f(0)

    f(n) = f(n-1) + f(n-2) + … + f(0)

    两式子相减得f(n) - f(n-1) = f(n-1)

    f(n) = 2*f(n-1)

    所以依次是:

    1,2,4,8.16……

    公式为:2^(n - 1)

    所以直接:

public int JumpFloorII(int target) {
        return (int) Math.pow(2,target - 1);
    }

参考博客

  1. https://cyc2018.github.io/CS-Notes/#/notes/10.2%20%E7%9F%A9%E5%BD%A2%E8%A6%86%E7%9B%96
  2. https://www.bilibili.com/video/BV1w7411k7Cv?from=search&seid=11049734117226579433
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